Đáp án:

a)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

Tứ giác AMBH là hình thoi

b) H đối xứng với K qua A

c)

Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

$S_{\triangle HMK}=24cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

H đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH với AB

$\to ME\bot AB, ME=EH, AE=EB$

K đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK với AC

$\to MF\bot AC, MF=FK, AF=FC$

Xét tứ giác AEMF:

$\widehat{EAF}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AEM}=90^o\,\,\,(ME\bot AB)\\\widehat{AFM}=90^o\,\,\,(ME\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Xét tứ giác AMBH:

E là trung điểm của AB (cmt)

E là trung điểm của MH (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBH là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $ME\bot AB$ hay $MH\bot AB$

$\to$ Tứ giác AMBH là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

b)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (cmt)

$\to EM=AF, AE=MF$

Xét $\triangle AEH$ và $\triangle KFA$:

$EH=FA\,\,\,(=EM)\\\widehat{AEH}=\widehat{KFA}\,\,\,(=90^o)\\AE=KF\,\,\,(=MF)$

$\to \triangle AEH=\triangle KFA$ (c.g.c)

$\to AH=KA$ (2 cạnh tương ứng)

$\to$ H đối xứng với K qua A

c)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (cmt)

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông

$\to AE=AF$

Mà $AE=\dfrac{1}{2}AB, AF=\dfrac{1}{2}AC$

$\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$

$\to \triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để tứ giác AEMF là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Xét $\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lí Pytago)

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8cm$

Ta có: $EM=AF=\dfrac{1}{2}AC=4cm, MF=AE=\dfrac{1}{2}AB=3cm$

Lại có:

$EM=\dfrac{1}{2}MH\to MH=2EM=8cm\\MF=\dfrac{1}{2}MK\to MK=2MF=6cm$

$\triangle HMK$ vuông tại M (tứ giác AEMF là hình chữ nhật)

$\to S_{\triangle HMK}=\dfrac{1}{2}.MH.MK=\dfrac{1}{2}.8.6=24cm^2$