Giải thích các bước giải:

a. Do ΔABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời là trung tuyến ⇒H là trung điểm BC

⇒BH=HC=BC/2

mà HM || AB, HN || AC ⇒ M là trung điểm AC và N là trung điểm AB (tính chất đường trung bình)

⇒AM=MC=AN=NB (vì ABC cân tại A)
tứ giác AMHN có HM || AN và AM || NH ⇒ AMHN là hình bình hành lại có AM=AN 

⇒AMHN là hình thoi

b. E đối xứng với H qua N⇒N là trung điểm của HE 

mà AB ∩ HE = N là trung điểm mỗi đường ⇒ AEBH là hình bình hành 

lại có ∡AHB=90 độ ⇒AEBH là hình chữ nhật

c. Để AEBH là hình vuông ⇒AH=BH

⇒ΔABH, ΔACH cân tại H

⇒∡HAB=∡HBA và ∡HAC=∡HCA

ta có: ∡ABC+∡ACB+∡BAC=180

⇒∡HAB+∡HAC+∡HBA+∡HCA=180 

⇒2(∡HAB+∡HAC∡)=180⇒2.∡BAC=180⇔ ∡BAC =90 độ

⇒ΔABC vuông cân tại A

d. ta có: S(ABC)=0,5×AH×BC=0,5×AH×2×BH=AH.BH

S(AEBH)=AH.BH 

⇒S(ABC)=S(AEBH)