Giải thích các bước giải:

a.Ta có $M, N$ là trung điểm $AB,AC$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to MN//BC$

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A\to \hat B=\hat C$

$\to BMNC$ là hình thang cân

b.Ta có $H, D$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $HD$
               $N$ là trung điểm $AC$

$\to AHCD$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A, H$ là trung điểm $CB\to AH\perp BC$

$\to AHCD$ là hình chữ nhật

$$\to AD//CH, AD=CH$

Mà $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC\to MN//BC, MN=\dfrac12BC$

$\to MN//CH, MN=CH$ vì $H$ là trung điểm $BC$

$\to MN//AD(//CH), MN=AD(=CH)$

$\to ADNM$ là hình bình hành

c.Ta có $ADNM$ là hình bình hành

$\to AN\cap MD$ tại trung điểm mỗi đường

$\to CN$ đi qua trung điểm $MD$

$\to CN$ là trung tuyến $\Delta CMD(1)$

Ta có $MN//CH, MN=CH$(câu b)

$\to MNCH$ là hình bình hành

$\to CM\cap HN$ tại trung điểm mỗi đường

$\to HN$ đi qua trung điểm $CM$

$\to DN$ đi qua trung điểm $CM$

$\to DN$ là trung tuyến $\Delta DMC(2)$

Từ $(1),(2)\to N$ là trọng tâm $\Delta DMC$

d.Gọi $HE\cap BN=F,G$ là trung điểm $NC$

Vì $N$ là trọng tâm $\Delta CMD$

$\to NG=GC=\dfrac12NC=NE$

$\to G, N$ là trung điểm $NC, GE$

Mà $H$ là trung điểm $BC$

$\to GH$ là đường trung bình $\Delta BCN\to GH//BN\to HG//FN$

Lại có $N$ là trung điểm $EG$

$\to F$ là trung điểm $HE$

$\to BN$ đi qua trung điểm $HE$