Đáp án:

\(\begin{array}{l}
b)\,\,\,m = \frac{9}{8}\\
c)\,\left[ \begin{array}{l}
M\left( {0;\,\,0} \right)\\
M\left( {\frac{1}{4};\,\,\frac{1}{8}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\left( P \right):\,\,y = 2{x^2}\)

a) Parabol \(\left( P \right)\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2;\,\,8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,2} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( {1;\,\,2} \right);\,\,\left( {2;\,\,8} \right).\)

Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.

\(\left( d \right):\,\,y = x - m + 1.\)  

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(2{x^2} = x - m + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + m - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

\(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) có đúng 1 điểm chung \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 1 - 8\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 8m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{9}{8}.\)

c) Gọi \(M\left( {2a;\,\,a} \right)\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 2 lần tung độ

\(\begin{array}{l}M \in \left( P \right) \Rightarrow a = 2.{\left( {2a} \right)^2} \Leftrightarrow a = 8{a^2}\\ \Leftrightarrow 8{a^2} - a = 0 \Leftrightarrow a\left( {8a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0;\,\,0} \right)\\M\left( {\frac{1}{4};\,\,\frac{1}{8}} \right)\end{array} \right..\end{array}\)