a) Do M, N là trung điểm AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $MN//AC$.

CMTT ta cx có NP//AM.

Vậy tứ giác AMNP là hình bình hành.

Lại có $\widehat{PAM} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác AMNP là hình chữ nhật. Vậy AN = MP.

b) Ta có I, F là trung điểm của NP, NM nên IF là đường trung bình của tam giác NMP, suy ra $FI//MP$ và $FI = \dfrac{1}{2} MP$.

CMTT ta cũng có $KE // MP$ và $KE = \dfrac{1}{2}MP$.

Xét tứ giác IKEF có FI//KE và FI = KE $(= \dfrac{1}{2})$.

Vậy tứ giác IKEF là hình bình hành.

Do I và E là trung điểm của PN, AM và PN = AM (do AMNP là hcn) nên 

$EM = \dfrac{1}{2} AM = \dfrac{1}{2} PN = IN$

Xét tam giác FNI và FME có

$IN = EM$, $\widehat{INF} = \widehat{FME}(=90^{\circ})$, $FN = FM$.

Vậy tam giác FNI = tam giác FME, vậy FE = FI.

Xét hình bình hành IKEF có FE = FI. Do đó IKEF là hình thoi.