Câu 1:

Lợi nhuận của công ty:

$\quad \Pi = TR_1 + TR_2 - TC$

$\Leftrightarrow \Pi = 20Q_1 + 30Q_2 - (Q_1^2 + 2Q_2^2 - 2Q_1Q_2 + 10Q_1 + 20Q_2)$

$\Leftrightarrow \Pi= - Q_1^2 - 2Q_2^2 + 2Q_1Q_2 + 10Q_1 + 10Q_2$

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}\Pi_{Q_1}' = 0\\\Pi_{Q_2}' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-2Q_1 + 2Q_2 + 10 =0\\-4Q_2 + 2Q_1 + 10 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}Q_1=15\\Q_2 = 10\end{cases}$

Đặt $\begin{cases}A = \Pi_{Q_1^2}'' = -2\\B = \Pi_{Q_1Q_2}'' = 2\\C = \Pi_{Q_2^2}'' = -4\end{cases}$

Ta có: $B^2 - AC = -4 <0$ và $A = -2 <0$

Do đó $\Pi$ đạt cực đại tại $(Q_1;Q_2) = (15;10);\ \Pi_{\max} = 125$

Câu 2:

Đường ngân sách: $6X + 9Y = 60$

Tôi đa hóa hữu dụng

$\Leftrightarrow \begin{cases}6X + 9Y = 60\\\dfrac{Y + 4}{6} = \dfrac{X + 2}{9}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}X = 7\\Y = 2\end{cases}$

$\Rightarrow TU_{\max} = U(7;2) = 46$ (đơn vị hữu dụng)