Cho A = 1 + 4 + 42+ 43+ … + 41999+ 42000.Chứng minh rằng A chia hết cho 21.

* Hướng dẫn giải

Lời giải:

^{A = 1 + 4 + 42}+ 4³+ … + 4¹⁹⁹⁹+ 4²⁰⁰⁰

= (1 + 4 + 4²) + (4³+ 4⁴+ 4⁵) + … + (4¹⁹⁹⁸+ 4¹⁹⁹⁹+ 4²⁰⁰⁰)

= 21 + 4³.(1 + 4 + 4²) + … + 4¹⁹⁹⁸.(1 + 4 + 4²)

= 21 + 4³.21 + … + 4¹⁹⁹⁸.21

= 21.(1 + 4³+ … + 4¹⁹⁹⁸)

Vì 21 ⁝ 21 nên theo tính chất chia hết của một tích thì

21.(1 + 4³+ … + 4¹⁹⁹⁸) ⁝ 21.

Vậy A ⁝ 21.