Phương trình sin^2x + căn bậc hai của 3 sinx cosx =1 có bao nhiêu nghiệm thuộc

Phương pháp giải:

Ta sử dụng các công thức : ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2};\sin 2x=2\sin x\cos x;\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos $A\cos X+B\sin X=C\left(A^2+B^2\ge C\right)$, chia cả hai vế cho $\sqrt{A^2+B^2}$ để ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Ta có : ${\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x=1\iff \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=1$

$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \frac{\pi }{3}.\cos 2x-\sin \frac{\pi }{3}\sin 2x=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}\iff \left[\begin{array}{l}2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+m2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+m\pi \end{array}\right.\left(k,m\in \mathbb{Z}\right)$

Vì $x\in \left[0;2\pi \right]$ nên ta có

+ $0\le k\pi \le 2\pi \iff 0\le k\le 2\iff \left[\begin{array}{l}k=0\Rightarrow x=0\\ k=1\Rightarrow x=\pi \\ k=2\Rightarrow x=2\pi \end{array}\right.$

+ $0\le -\frac{\pi }{3}+m2\pi \le 2\pi \iff \frac{1}{6}\le m\le \frac{7}{6}\iff m=1\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}.$