Cho a,b thuộc N*, hãy so sánh a+n / b+n và a/b

* Hướng dẫn giải

Lời giải

$$\begin{gathered} Ta xét ba trường hợp: \\ \mathit{T}\mathit{r}\mathit{ư}\mathit{ờ}\mathit{n}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{ợ}\mathit{p}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{:} a > b \\ Ta có \frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b} \\ \frac{a+n}{b+n}-1=\frac{a+n-b+n}{b+n}=\frac{a-b}{b+n} \\ Vì \frac{a-b}{b}>\frac{a-b}{b+n} nên \frac{a}{b}-1>\frac{a+n}{b+n}-1 \\ Vậy \frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n} khi a > b. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{T}\mathit{r}\mathit{ư}\mathit{ờ}\mathit{n}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{ợ}\mathit{p}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{:} a < b \\ Ta có 1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}. \\ Vì \frac{b-a}{b}>\frac{b-a}{b+n} nên 1-\frac{a}{b}>1-\frac{a+n}{b+n} \\ Vậy \frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+n} khi a < b. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{T}\mathit{r}\mathit{ư}\mathit{ờ}\mathit{n}\mathit{g}\mathbf{ }\mathit{h}\mathit{ợ}\mathit{p}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{:} a = b \\ Ta có 1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}. \\ \frac{a+n}{b+n}=\frac{a}{b}=1 \\ Vậy \frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n} khi a = b. \end{gathered}$$