Phương trình x ( 2^x − 1 + 4 ) = 2^x + 1 + x^2 có tổng các nghiệm bằng

\[x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} - {4.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 4)({2^{x - 1}} - x) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{{2^{x - 1}} - x = 0( * )}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {2^{x - 1}} - x\] trên\(\mathbb{R}\). Ta có

\[f'\left( x \right) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\]

\[f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0}\]</>

nên phương trình\[f(x) = 0\]có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng\[\left( { - \infty ;{x_0}} \right)\]và\[\left( {{x_0}; + \infty } \right)\]

Mà \[f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\]nên phương trình (*) có 2 nghiệm x=1 và x=2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.