Đồ thị hàm số y = x^3 − 2 m x^2 + m^2 x + n có điểm cực tiểu là A(1;3). Giá trị của m+n bằng:

* Hướng dẫn giải

Bước 1: Tìm y' và y''.

Ta có:

\[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n \Rightarrow y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2},\,\,y'' = 6x - 4m\]

Bước 2:

Đồ thị hàm số\[y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + n\]  có điểm cực tiểu là A(1;3) khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\prime (1) = 0}\\{f\prime \prime (1) > 0}\\{f(1) = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - 4m + {m^2} = 0}\\{6 - 4m > 0}\\{1 - 2m + {m^2} + n = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3}\\{m = 1}\end{array}} \right.}\\{m < \frac{3}{2}}\\{n = 3 - {{(m - 1)}^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{n = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy \[m + n = 1 + 3 = 4\]