Cho hàm số y = 1/3 x^3 − m x^2 + ( 2 m − 4 ) x − 3. . Tìm mm để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu x 1 ; x 2 thỏa mãn: x 2 1 + x 2 2 = x 1 . x 2 + 10

\[y' = {x^2} - 2mx + 2m - 4\]

Để hàm số có cực đại cực tiểu \[ \Leftrightarrow {\rm{\Delta '}} > 0,\forall m \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0,\forall m\]

Khi đó phương trình \[y' = 0\] có hai nghiệm \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 2m - 4}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\[x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10\]

\[ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {(2m)^2} - 3.(2m - 4) - 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]