Gọi m 0 là giá trị của mm thỏa mãn đồ thị hàm số y = x^2 + m x − 5 / x^2 + 1 có hai điểm cực trị A,B sao cho đường thẳng AB đi qua điểm I(1;−3). Khẳng định nào sau đây là đúng?

TXĐ:\[D = \mathbb{R}\]

Ta có\[y = \frac{{{x^2} + mx - 5}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{mx - 6}}{{{x^2} + 1}}\]

Suy ra \[y' = \frac{{m\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {mx - 6} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - m{x^2} + 12x + m}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình\[y' = 0\] có hai nghiệm phân biệt hay\[ - m{x^2} + 12x + m = 0\] có hai nghiệm phân biệt. Ta có\[{\rm{\Delta '}} = 36 + {m^2} > 0;\,\forall m\] nên hàm số luôn có hai cực trị.

Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm cực trị là

\[y = \frac{{2\left( { - m} \right)x - 4.\left( { - 5} \right)}}{{ - 4}} = \frac{m}{2}x - 5\]

Đường thẳng AB qua điểm I(1;−3) nên\[ - 3 = \frac{m}{2}.1 - 5 \Leftrightarrow m = 4\]

Suy ra\[{m_0} = 4\]