Cho F ( x ) = nguyên hàm ln x / x căn bậc 2 của 1 − ln x d x , biết F ( e ) = 3 , tìm F ( x ) = ?

\[F\left( x \right) = \smallint \frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx\]

Đặt\[\sqrt {1 - \ln x} = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \frac{1}{x}dx = - 2tdt\]

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\smallint \left( {1 - {t^2}} \right)dt\]

\[ = - 2t + \frac{2}{3}{t^3} + C = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + C\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( e \right) = - 2\sqrt {1 - 1} + \frac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1} + C = 3 \Rightarrow C = 3}\\{ \Rightarrow F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \frac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3}\end{array}\]