Cho F ( x ) = nguyên hàm x / 1 + căn bậc 2 của 1 + x d x và F ( 3 ) − F ( 0 ) = a/b là phân số tối giản , a>0. Tổng a+b bằng ?

* Hướng dẫn giải

\[F\left( x \right) = \smallint \frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx\]

Đặt\[\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow F\left( x \right) = \smallint \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\smallint t\left( {t - 1} \right)dt = 2\smallint \left( {{t^2} - t} \right)dt}\\{ = \frac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \frac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C}\\{ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \frac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \frac{5}{3}}\\{ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C