Cho nguyên hàm I = nguyên hàm căn bậc 2 của x^2 − 1 / x^3 d x . . Nếu đổi biến số x = 1 s i n t với t thuộc [ π/4 ; π/2 ] thì

Đặt\[x = \frac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\frac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t\]

Và\[\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\frac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\frac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.\]

Khi đó

\[I = \smallint {\sin ^2}t.\cos t.\left( { - \frac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t = - \,\smallint {\cos ^2}t\,{\rm{d}}t = - \frac{1}{2}\smallint \left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t.\]