Giá trị của tích phân

Do hàm số\[f(x) = \sqrt {1 - \cos 2x} = \sqrt 2 \left| {\sin x} \right|\] là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì\[T = \pi \] nên ta có

\[\int\limits_0^T {f(x)dx = } \int\limits_T^{2T} {f(x)dx = } \int\limits_{2T}^{3T} {f(x)dx = ... = \int\limits_{(n - 1)T}^{nT} {f(x)dx} } \]

\( \Rightarrow \int\limits_0^{nT} {f(x)dx = } \int\limits_0^T {f(x)dx + \int\limits_T^{2T} {f(x)dx + \int\limits_{2T}^{3T} {f(x)dx + ... + \int\limits_{(n - 1)T}^{nT} {f(x)dx} = } } } n\int\limits_0^T {f(x)dx} \)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{2017\pi } {\sqrt {1 - cos2x} } dx\)

\( = 2017\int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - cos2x} } dx\)

\( = 2017\sqrt 2 \int\limits_0^\pi {sinxdx = 4034\sqrt 2 } \)