Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị

* Hướng dẫn giải

\[{x^2} + 3y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{{{x^2}}}{3}\]

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

\( - \sqrt {4 - {x^2}} = - \frac{{{x^2}}}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le {x^2} \le 4}\\{{x^4} + 9{x^2} - 36 = 0}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \,\sqrt 3 .\]

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là

\[V = \pi \mathop \smallint \limits_{ - {\kern 1pt} \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } \left| {{{\left( { - \,\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( { - \,\frac{{{x^2}}}{3}} \right)}^2}} \right|\,{\rm{d}}x.\]

\[ = \pi \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {(4 - {x^2}) - \frac{{{x^4}}}{9}} \right|} dx = \left| {\pi \left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{{45}}} \right)\left| {_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }} \right.} \right|\]

\[ = 2\pi \left( {4\sqrt 3 - \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{5}} \right) = \frac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}\]

Vậy

\(V = \frac{{28\pi \sqrt 3 }}{5} = \frac{{a\pi \sqrt 3 }}{b} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 28}\\{b = 5}\end{array}} \right. \Rightarrow T = a + b = 28 + 5 = 33.\)

Đáp án cần chọn là: A