Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và...

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là \[\Delta ABC\] với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.

Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1,O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1,D2 lần lượt là tiếp điểm của AC với (O1) và (O2).

Vì O1D1//O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

\[ \Rightarrow \frac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \frac{{{O_2}{D_2}}}{{{O_1}{D_1}}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {O_2}\] là trung điểm của

\[A{D_1} \Rightarrow A{O_1} = 2{O_1}{O_2} = 2\left( {a + 2a} \right) = 6a\]

\[ \Rightarrow AH = A{O_1} + {O_1}H = 6a + 2a = 8a\]

Xét tam giác vuông \[A{O_1}{D_1}\] có: \[A{D_1} = \sqrt {A{O_1}^2 - {O_1}{D_1}^2} = \sqrt {36{a^2} - 4{a^2}} = 4\sqrt 2 a\]Dễ thấy:

\[{\rm{\Delta }}A{O_1}{D_1} \sim {\rm{\Delta }}ACH\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HC}}{{{O_1}{D_1}}} = \frac{{AH}}{{A{D_1}}} \Rightarrow HC = \frac{{{O_1}{D_1}.AH}}{{A{D_1}}} = \frac{{2a.8a}}{{4\sqrt 2 a}} = 2\sqrt 2 a = r\]