Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.

Gọi \[\vec v\left( {t;0;t} \right)\] là vectơ cùng phương với vectơ\[\vec u\left( {1;0;1} \right)\] sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)

Phép tịnh tiến vectơ \[\vec v\left( {t;0;t} \right)\] biến I thành\[I'(--1 + t;2;1 + t)\]

Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kính\[R' = R = 1\]

(S′) tiếp xúc (P)

\[ \Leftrightarrow d(I;(P)) = 1 \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + t - 2.2 + 2(1 + t) - 3|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1\]

\[ \Leftrightarrow |3t - 6| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = 1}\end{array}} \right.\]

Với \[t = 3 \Rightarrow \vec v\left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = 3\sqrt 2 \]

Với\[t = 1 \Rightarrow \vec v\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \sqrt 2 \]

Vậy giá trị lớn nhất của MN là \[3\sqrt 2 \]