Gọi M,N lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=|x-3|căn bậc hai của x+1 trên đoạn [0;4]

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên $\left[0;4\right]$

Ta có: $f\left(x\right)=\left|x-3\right|\sqrt{x+1}=\sqrt{\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(x+1\right){\left(x-3\right)}^2$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ ta có:

$g\text{'}\left(x\right)={(x-3)}^2+(x+1).2(x-3)$

$g\text{'}\left(x\right)=(x-3)(x-3+2x+2)$

$g\text{'}\left(x\right)=(x-3)(3x-1)$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\in [0;4]\\ x=\frac{1}{3}\in [0;4]\end{array}\right.$

Ta có: $g\left(0\right)=9,g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{256}{27},g\left(3\right)=0,g\left(4\right)=5$

Vậy $\left\{\begin{array}{c}M=\underset{\left[0;4\right]}{\text{max}}f\left(x\right)=\sqrt{g\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16\sqrt{3}}{9}\\ N=\underset{[0;4]}{min}f\left(x\right)=\sqrt{g\left(0\right)}=0\end{array}\Rightarrow M+2N=\frac{16\sqrt{3}}{9}\right.$
Đáp án cần chọn là: A