Cho hàm số y = x^3 - 3mx^2 + 6, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 3] bằng 2 khi:

* Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=ℝ$

$y^{\text{'}}=3x^2-6mx.$

Ta có:$y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=6\\ x=2m\Rightarrow y=-4m^3+6\end{array}\right.$

Xét TH1: m=0. Hàm số đồng biến trên $\left[0;3\right]\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(0\right)=6\Rightarrow$ loại.

Xét TH2: $m⩾\frac{3}{2}\Rightarrow 2m\ge 3>0$ Khi đó, hàm số nghịch biến trên $\left[0;3\right]\subset \left[0;2m\right]$
$\Rightarrow \underset{\left[0;3\right]}{Min}y=y\left(3\right)=33-27m=2\Rightarrow m=\frac{31}{27}<\frac{3}{2}$(loại)

Xét TH3: $\frac{3}{2}>m>0\Rightarrow 3>2m>0$ thì đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;6) và điểm cực tiểu là $\left(2m,-4m^3+6\right).$
Khi đó , GTNN trên $\left[0;3\right]$là $y\left(2m\right)=-4m^3+6$

$\Rightarrow -4m^3+6=2\iff m^3=1\iff m=1$(thỏa mãn)

Xét TH4: $m<0\Rightarrow \left(0;6\right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và trên $\left[0;3\right]$ hàm số đồng biến.
$\Rightarrow y_{min}=6\Rightarrow$ loại.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D