Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm)

* Hướng dẫn giải

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left(0<x<a\right).$Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.

Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }$
Do đó diện tích hình tròn là: $S_1=\pi .r^2=\frac{x^2}{4\pi }$

Chu vi hình vuông là $a-x\Rightarrow$Cạnh hình vuông là $\frac{a-x}{4}$Do đó diện tích hình vuông:

$S_2={\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2$

Tổng diện tích hai hình:

$\begin{array}{l}S=\frac{x^2}{4\pi }+{\left(\frac{a-x}{4}\right)}^2\\ =\frac{4x^2+\pi {\left(a-x\right)}^2}{16\pi }\\ =\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }\end{array}$

Xét hàm số  $S\left(x\right)=\frac{\left(4+\pi \right).x^2-2a\pi x+\pi a^2}{16\pi }$ta có:

$S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2\left(4+\pi \right).x-2a\pi }{16\pi }=\frac{\left(4+\pi \right).x-a\pi }{8\pi }$

Cho $S^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left(4+\pi \right)x-a\pi =0\iff x=\frac{a\pi }{4+\pi }$Ta có BBT như sau :