Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}{\left(2^n+3^n\right)}^{2020}<{\left(2^{2020}+3^{2020}\right)}^n\\ \iff \ln {\left(2^n+3^n\right)}^{2020}<\ln {\left(2^{2020}+3^{2020}\right)}^n\\ \iff 2020\ln \left(2^n+3^n\right)<n\ln \left(2^{2020}+3^{2020}\right)\\ \iff \frac{\ln \left(2^n+3^n\right)}{n}<\frac{\ln \left(2^{2020}+3^{2020}\right)}{2020}\end{array}$

Xét hàm đặc trưng $f\left(x\right)=\frac{\ln \left(2^x+3^x\right)}{x}\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$ ta có:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{\frac{(2^x+3^x)\text{'}}{2^x+3^x}.x-ln(2^x+3^x)}{x^2}\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast } \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{(2^{x}ln2+3^{x}ln3)x-(2^x+3^x).ln(2^x+3^x)}{x^2(2^x+3^x)}\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast } \\ =\frac{2^{x}ln2.x-2^{x}ln(2^x+3^x)+3^{x}ln3.x-3^{x}ln(2^x+3^x)}{x^2(2^x+3^x)}\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast } \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{2^x(xln2-ln(2^x+3^x\left)\right)+3^x(xln3-ln(2^x+3^x\left)\right)}{x^2(2^x+3^x)}\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast } \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{2^x[ln{2}^x-ln(2^x+3^x\left)\right]+3^x[ln{3}^x-ln(2^x+3^x\left)\right]}{x^2(2^x+3^x)}\forall x\in {\mathbb{N}}^{\ast } \end{gathered}$$

Vì $\left\{\begin{array}{c}{2}^x<2^x+3^x\Rightarrow ln{2}^x<ln(2^x+3^x)\\ 3^x<2^x+3^x\Rightarrow ln{3}^x<ln(2^x+3^x)\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\in \mathbb{N}\ast$

⇒ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên N*

Lại có: f(n)<f(2020) => n>2020

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $2020<n\le \mathrm{9999,}n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Vậy có $\frac{9999-2021}{1}+1=7979$ giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D