Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập

* Hướng dẫn giải

Đặt $m=\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_8}\left(a_i\in A,a_i\ne a_j,\forall i,j=\overline{1,8}\right)$

Do $a_i\in A$, các $a_i\ne a_j,\forall i,j=\overline{1,8}$ nên:

$\sum _{i=1}^8{a}_i=1+2+3+4+5+6+7+8=36$

Do đó $m⋮9$ mà $m⋮11\left(gt\right)\Rightarrow m⋮9999$

Đặt  $p=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4};q=\overline{a_5{a}_6{a}_7{a}_8}$ ta có:

$m=p{.10}^4+q=9999.p+\left(p+q\right)⋮9999$

$\Rightarrow \left(p+q\right)⋮9999$

Do 0 < p, q < 9999
⇒ 0 < p + q < 2.9999
Mà (p + q)⋮9999 ⇒ p + q = 9999

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{a}_1+a_5=9\\ a_2+a_6=9\\ a_3+a_7=9\\ a_4+a_8=9\end{array}\right.$