$\begin{array}{l} 2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1 \\ \Leftrightarrow 2^{x + y} (3^{x + y} + 1) = 6 x + 6 x + 2 \\ \Leftrightarrow 6^{x + y} + 2^{x + y} = 6 (x + y) + 2 \end{array}$

Đặt $x + y = t$ phương trình trở thành $6^{t} + 2^{t} = 6 t + 2 \Leftrightarrow 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2 = 0$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 2^{t} - 6 t - 2$ ta có:

$\begin{array}{l} f^{'} (t) = 6^{t} . \ln 6 + 2^{t} . \ln 2 - 6 \\ f^{''} (t) = 6^{t} \ln^{2} 6 + 2^{t} . \ln^{2} 2 > 0 \forall t \in ℝ \end{array}$

Do đó hàm số $y = f^{'} (t)$ đồng biến trên $ℝ$ , suy ra phương trình f′(t)=0f′(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình $f (t) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: $\{\begin{matrix} f (0) = 6^{0} + 2^{0} - 6.0 - 2 = 0 \\ f (1) = 6^{1} + 2^{1} - 6.1 - 2 = 0 \end{matrix}$ do đó phương trình $f (t) = 0$ có đúng hai nghiệm $t = 0, t = 1$

$\Leftarrow [\begin{matrix} x + y = 0 \\ x + y = 2 \end{matrix}$

TH1: $x + y = 0 \Rightarrow y = - x$

Thay vào P ta có: $P = x^{2} + x y + y^{2} = x^{2} \geq 0$

TH2: $x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x$

Thay vào P ta có:

$\begin{array}{l} P = x^{2} + x (1 - x) + {(1 - x)}^{2} \\ = x^{2} - x + 1 \\ = {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi $x + y = 0$
Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số !!

Số câu hỏi: 42

Cho x,y là các số thực thỏa mãn 2^x+y-1 (3^x+y + 1) = 3x + 3y +1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x^2 + xy +y^2

Câu hỏi :

Cho x,y là các số thực thỏa mãn 2x+y−1(3x+y+1)=3x+3y+1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+xy+y2 .

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số !!

Cho x,y là các số thực thỏa mãn $2^{x + y - 1} (3^{x + y} + 1) = 3 x + 3 y + 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + y^{2}$ .