Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2020; 2020] của tham số m để đường thẳng y = x + m

* Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=ℝ\setminus \left\{1\right\}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}\frac{2x-3}{x-1}=x+m\left(x\ne 1\right)\\ \iff 2x-3=\left(x-1\right)\left(x+m\right)\\ \iff 2x-3=x^2+mx-x-m\\ \iff x^2+\left(m-3\right)x-m+3=0\left(\ast \right)\end{array}$

Để để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\Delta ={(m-3)}^2-4(-m+3)>0\\ 1+(m-3).1-m+3\ne 0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{m}^2-6m+9+4m-12>0\\ 1\ne 0\left(luondung\right)\end{array}\right.\end{array}$

$\iff m^2-2m-3>0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m>3\\ m<-1\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra $m\in \left[-2020;-1\right)\cup \left(3;2020\right],m\in \mathbb{Z}$

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A