Cho hàm số y = 2x -2/x-2 có đồ thị là(C), Mlà điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại Mcắt hai đường tiệm cận của (C)

* Hướng dẫn giải

TXĐ:$D=ℝ\setminus \left\{2\right\}$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = 2 và y = 2

Ta có $y^{\text{'}}=\frac{-2}{{\left(x-2\right)}^2}$. Gọi $M\left(m;\frac{2m-2}{m-2}\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M:y=\frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}$

Cho $x=2\Rightarrow y=\frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(2-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}$

$\iff y=\frac{2}{m-2}+\frac{2m-2}{m-2}=\frac{2m}{m-2}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng x = 2 là $A\left(2;\frac{2m}{m-2}\right)$

Cho $y=2\Rightarrow \frac{-2}{{\left(m-2\right)}^2}\left(x-m\right)+\frac{2m-2}{m-2}=2$

$\begin{array}{l}\iff -2\left(x-m\right)+\left(2m-2\right)\left(m-2\right)=2{\left(m-2\right)}^2\\ \iff -2x+2m+2m^2-6m+4=2m^2-8m+8\\ \iff 2x=4m-4\iff x=2m-2\end{array}$

⇒ Giao điểm của d và đường thẳng $y=2$ là $B\left(2m-2;2\right)$

Ta có: $AB=2\sqrt{5}\iff {\left(2m-4\right)}^2+{\left(2-\frac{2m}{m-2}\right)}^2=20$

$\iff 4{(m-2)}^2+\frac{16}{{(m-2)}^2}=20$

$\iff {(m-2)}^4-5{(m-2)}^2+4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{(m-2)}^2=1\\ {(m-2)}^2=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}m=3\\ m=1\\ m=4\\ m=0\end{array}\right.$

Vậy $S=3+1+4+0=8$
Đáp án cần chọn là: C