Tìm số nguyên x để x^2 + x + 1 là bội của x – 2.

Để x² + x + 1 là bội của x – 2 thì x² + x + 1 chia hết cho x – 2 với x là số nguyên.

Thực hiện phép tính:

 $\frac{x^2+x+1}{x-2}$

$=\frac{x.x+3x-2x+7-6}{x-2}$

$=\frac{x.x-2x+3x-6+7}{x-2}$

$=\frac{x.(x-2)+3.(x-2)+7}{x-2}$

$=\frac{x.(x-2)}{x-2}+\frac{3.(x-2)}{x-2}+\frac{7}{x-2}$

$=x+3+\frac{7}{x-2}$

Để x² + x + 1 chia hết cho x – 2 với x là số nguyên thì $\frac{7}{x-2}$ là số nguyên

Suy ra x − 2 ∈ Ư(7) = {±1; ±7}.

Nếu x – 2 = − 7 suy ra x = −7 + 2 = − 5 (thoả mãn x nguyên);

Nếu x – 2 = − 1 suy ra  x = − 1 + 2 = 1 (thoả mãn x nguyên);

Nếu x – 2 = 1 suy ra x = 1 + 2 = 3 (thoả mãn x nguyên);

Nếu x – 2 = 7 suy ra x = 7 + 2 = 9 (thoả mãn x nguyên);

Vậy x ∈ {− 5; 1; 3; 9}.