Cho A = 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/2012^2 + 1/2013^2 chứng tỏ A<1

Ta có vì 2 > 1 nên 2.2 > 1.2

Suy ra $\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}<\frac{1}{1.2}$

Tương tự: $\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}<\frac{1}{2.3}$

….

$\frac{1}{{2012}^2}=\frac{1}{2012.2012}<\frac{1}{2011.2012}$

$\frac{1}{{2013}^2}=\frac{1}{2013.2013}<\frac{1}{2012.2013}$

Do đó $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\cdots }\cdot \cdot +\frac{1}{{2012}^2}+\frac{1}{{2013}^2}$$<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }\mathrm{\dots }.+$$\frac{1}{2011.2012}+\frac{1}{2012.2013}$

Suy ra A <  B

Mà B$=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }\mathrm{\dots }.+\frac{1}{2012.2013}$

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\mathrm{\dots }$$+\frac{2012-2011}{2011.2012}+\frac{2013-2012}{2012.2013}$

$=\frac{2}{1.2}-\frac{1}{1.2}+\frac{3}{2.3}-\frac{2}{2.3}+$$\mathrm{\dots }+\frac{2012}{2011.2012}-\frac{2011}{2011.2012}+$$\frac{2013}{2012.2013}-\frac{2012}{2012.2013}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}$

$=1-\frac{1}{2013}<1$

Do đó B < 1

Nên A < B < 1

Vậy A < 1.