Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;−2;4);B(−3;3;−1) và mặt

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức :$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2(2-a;-2-b;4-c)+3(-3-a;3-b;-1-c)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}4-2a-9-3a=0\\ -4-2b+9-3b=0\\ 8-2c-3-3c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-5a-5=0\\ -5b+5=0\\ -5c+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.\Rightarrow I(-1;1;1)$

Ta có :

$\begin{array}{l}2M{A}^2+3M{B}^2=2{\overrightarrow{MA}}^2+3{\overrightarrow{MB}}^2\\ =2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)+\overrightarrow{MI}\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\right)\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)\end{array}$

Do I, A, B cố định nên $2I{A}^2+3I{B}^2=const$

$\Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }\iff 5M{I^2}_{\min }$⇔ M là hình chiếu của I trên (P)

Gọi $\left(\text{Δ}\right)$ là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của

$\left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$

M là hình chiếu của I lên (P) ⇒$M\in \left(\text{Δ}\right)\Rightarrow M\left(-1+2t;1-t;1+2t\right)$

Lại có $M\in \left(P\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(-1+2t\right)-\left(1-t\right)+2\left(1+2t\right)-8=0\\ \iff -2+4t-1+t+2+4t-8=0\\ \iff 9t-9=0\iff t=1\Rightarrow M\left(1;0;3\right)\end{array}$

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}M{I}^2=4+1+4=9;I{A}^2=9+9+9=27;I{B}^2=4+4+4=13\\ \Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }=5.9+2.27+3.12=135\end{array}$

Đáp án cần chọn là: A