Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu

+) Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$ có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.

+) Tìm I: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}$

$A\left(0;1;1\right),\text{}B\left(3;0;-1\right),\text{}C\left(0;21;-19\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IA}\left(-x_I;1-y_I;1-z_I\right),\text{}\overrightarrow{AB}\left(3;-1;-2\right),\text{}\overrightarrow{AC}\left(0;20;-20\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}-x_I=-\frac{2.3+0}{6}\\ 1-y_I=-\frac{2.(-1)+20}{6}\\ 1-z_I=-\frac{2.(-2)+(-20)}{6}\end{array}\right.\Rightarrow I(1;4;-3)$

+) Ta có:

$\begin{array}{l}3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2\\ =3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2\\ =6{\overrightarrow{MI}}^2+3{\overrightarrow{IA}}^2+2{\overrightarrow{IB}}^2+{\overrightarrow{IC}}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)\\ =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2+2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0}\\ =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2\end{array}$

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và  mặt cầu (S).

$\overrightarrow{JI}=\left(0;3;-4\right)$ ⇒ Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng

Mặt khác $M\in \left(S\right)\Rightarrow {\left(1-1\right)}^2+{\left(1-\left(1+3t\right)\right)}^2+{\left(1-\left(1-4t\right)\right)}^2=1$

$\iff t^2=\frac{1}{25}\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{1}{5}\\ t=-\frac{1}{5}\left(L\right)\end{array}\right.\Rightarrow t=\frac{1}{5}\Rightarrow M\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)\Rightarrow OM=\frac{3\sqrt{10}}{5}$

Đáp án cần chọn là: C