Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: x=2t, y=t, z=4; d':x=t'

Lấy $\text{A}\in \text{d}\Rightarrow \text{A}\left(2a;a;4\right)$ và $B\in d^{\text{'}}\Rightarrow B\left(b;3-b;0\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(b-2a;3-a-b;-4\right)$

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_d}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d\text{'}}}=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}2.(b-2a)+1.(3-a-b)+0.(-4)=0\\ 1.(b-2a)-1.(3-a-b)+0.(-4)=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}-5a+b+3=0\\ -a+2b-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=2\end{array}\right.\end{array}$

Suy ra $\text{A}\left(2;1;4\right),B\left(2;1;0\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right)$

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính $R=\frac{AB}{2}$

Ta có I(2;1;2) và $R=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$

 Vậy ta có ${(x-2)}^2+{(y-1)}^2+{(z-2)}^2=4$

Đáp án cần chọn là: C