Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0 và mặt cầu

Dễ thấy $E\in \left(P\right)$.Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): $\left\{\begin{array}{c}x=3+2t\\ y=2+2t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(d\right)$

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) $\Rightarrow H\in \left(d\right)\Rightarrow H\left(3+2t;2+2t;5-t\right)$

Lại có $H\in \left(P\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(3+2t\right)+2\left(2+2t\right)-5+t-3=0\\ \iff 6+4t+4+4t-5+t-3=0\\ \iff 9t+2=0\iff t=\frac{-2}{9}\Rightarrow H\left(\frac{23}{9};\frac{14}{9};\frac{47}{9}\right)\\ \Rightarrow \overrightarrow{EH}\left(\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{20}{9}\right)=\frac{5}{9}\left(1;1;4\right)//\left(1;1;4\right)=\overrightarrow{a}\end{array}$

Để đường thẳng $\left(\text{Δ}\right)$ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng $\left(\text{Δ}\right)$ đi qua E và vuông góc với HE.

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{n_P}\\ \overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{a}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{a}\right]$

$\text{=}\left(\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right|\right)=(9;-9;0)=9(1;-1;0)$

Vậy đường thẳng $\left(\Delta \right)$ đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right)$ : $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C