Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z-3=0

Đường thẳng$\text{Δ}:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$ có 1 VTCP là$\overrightarrow{u}=\left(3;-2;-1\right)$

Vì $\left(\alpha \right)\perp \text{Δ}$ nên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left(3;-2;-1\right)$.Khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng $3x-2y-z+d=0$

Mặt cầu$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z-3=0$ có tâm I(4;−1;−1), bán kính$R=\sqrt{16+1+1+3}=\sqrt{21}$

Gọi r là bán kính đường tròn$\left(C\right),d=d\left(I;\left(\alpha \right)\right)$

Áp dụng định lí Pytago ta có:$R^2=r^2+d^2$ do đó để r đạt GTLN thì d phải đạt GTNN (vì$R=\sqrt{21}$ không đổi).

Ta có: $d=\frac{\left|3.4-2.\left(-1\right)-1.\left(-1\right)+d\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|15+d\right|}{\sqrt{14}}\ge 0$ suy ra$d_{\min }=0\iff d=-15$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cần tìm là:$3x-2y-z-15=0$

Đáp án cần chọn là: D