Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x-y-2z-2=0

* Hướng dẫn giải

Bước 1: Tính $d\left(\right(P),(Q\left)\right)$

Ta thấy M(1;0;0) là một điểm thuộc (P)

Vì $\left(P\right)//\left(Q\right)$nên $d\left(\right(P),(Q\left)\right)=d(M,(Q\left)\right)=\frac{|2+10|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=4$

Bước 2: Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Chứng minh I luôn thuộc mặt phẳng (R)

Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là

$R=\frac{d\left(\right(P),(Q\left)\right)}{2}=\frac{4}{2}=2$

Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2

Ngoài ra,

$d(I,(P\left)\right)=d(I,(Q\left)\right)\iff \frac{|2a-b-2c-2|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=\frac{|2a-b-2c+10|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}$

$\iff |2a-b-2c-2|=|2a-b-2c+10|$

$\iff 2a-b-2c+4=0.$

Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng $\left(R\right):2x-y-2z+4$

Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R).Tính HI và tính bán kính r

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A,

Ta có$AH=d(A,(R\left)\right)=\frac{|2.1-2-2.1+4|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}=\frac{2}{3}$

Mà $AH\perp \left(R\right)\Rightarrow AH\perp HI$,do đó $\text{Δ}AHI$ vuông tại H nên

$HI=\sqrt{A{I}^2-A{H}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kính$r=\frac{4\sqrt{2}}{3}$