Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x-5)^2+(y+3)^2+(z-7)^2=72

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính $R=6\sqrt{2}$

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

$\text{d}(I,(P\left)\right)=\frac{\left|5+m(-3-8)+n(7-2)\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=\frac{\left|5-11m+5n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=6\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}\iff \left|5-11m+5n\right|=6\sqrt{2}.\sqrt{1+m^2+n^2}\\ \iff 25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn=72(1+m^2+n^2)\\ \iff 49m^2-110m+50n-110mn-47n^2-47=0\\ \iff 49m^2-110m(n+1)-47n^2+50n-47=0\left(1\right)\\ =3025{(n+1)}^2-49(-47n^2+50n-47)=5328n^2+3600n+5328>0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}\text{d}(B,(P\left)\right)=\frac{\left|1+m(1-8)+n(-9-2)\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=\frac{\left|1-7m-11n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}\\ =>d(B,(P\left)\right)\max =AB\iff \frac{\left|1-7m-11n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=3\sqrt{19}\iff \sqrt{1+m^2+n^2}=\frac{\left|1-7m-11n\right|}{3\sqrt{19}}\end{array}$

Mặt khác $\frac{\left|5-11m+5n\right|}{6\sqrt{2}}=\sqrt{1+m^2+n^2}$

$\frac{\left|1-7m-11n\right|}{3\sqrt{19}}=\frac{\left|5-11m+5n\right|}{6\sqrt{2}}$

$\begin{array}{l}72(1+49m^2+121n^2-14m-22n+154mn)=171(25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn)\\ \iff 8(1+49m^2+121n^2-14m-22n+154mn)=19(25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn)\\ \iff -1907m^2+493n^2+1978m-1126n+3322mn-467=0\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n=\frac{276}{49}$
Đáp án cần chọn là: A