Cho hình trụ có O,O′ là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A,B cùng thuộc (O) và C,D cùng thuộc (O′)

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và I là trung điểm của OO′.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(ABCD\right)\cap (O\text{'}CD)=CD\\ IM\subset \left(ABCD\right),IM\perp CD\\ O\text{'}M\subset (O\text{'}CD),O\text{'}M\perp CD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \angle \left(\left(ABCD\right);\left(O^{\text{'}}BC\right)\right)=\angle \left(IM;O^{\text{'}}M\right)=\angle IM{O}^{\text{'}}={60}^0$

Ta có: $MN=BC=2a\Rightarrow IM=\frac{1}{2}MN=a$

Xét tam giác vuông O′IM có: $O^{\text{'}}M=IM.\cos {60}^0=\frac{a}{2}$

⇒ Chiều cao của khối trụ là $h=O{O}^{\text{'}}=2O^{\text{'}}I=a\sqrt{3}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O′CM có:

⇒ Bán kính đáy của khối trụ là $r=O^{\text{'}}C=a$

Vậy thể tích của khối trụ là: $V=\pi r^{2}h=\pi .a^2.a\sqrt{3}=\pi a^3\sqrt{3}$
Đáp án cần chọn là: A