So sánh S = 1 +2 + 2^2 + 2^3 +...+ 2^2018/ 1-2^2019 với −1.

Đặt A = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁸

2A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁹

Suy ra 2A – A = A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁹) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁸)

A = 2²⁰¹⁹ – 1

Ta được: 

$\mathrm{S}=\frac{1+2+2^2+2^3+\mathrm{...}+2^{2018}}{1-2^{2019}}=\frac{2^{2019}-1}{1-2^{2019}}=\frac{-1\left(1-2^{2019}\right)}{1-2^{2019}}=-1$

Vậy S = – 1.