1.Chứng minh rắng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ

* Hướng dẫn giải

1.Giả sử p là số nguyên tố và p = 30k + r (0 < r < 30)

Nếu r là hợp số thì r co ước nguyên tố $q \le \sqrt{30}\Rightarrow$ q = 2, 3, 5

Nhưng với q = 3, 3, 5 thì p lần lượt chia hết cho 2, 3, 5  vô lí . Vậy r = 1 hoặc r là số nguyên tố.

Khi chia cho 60 thì kết quả không còn đúng nữa

 Chẳng hạn p = 109 = 60.1 + 49       ( 49 là hợp số )

2. Số nguyên tố p khi chia cho 30 chỉ có thể dư là 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Với r = 1, 11, 19, 29 thì p²  1 (mod 30 )

Với r = 7, 13, 17, 23 thì  p²  19  (mod 30 )

Suy ra  p⁴   1  (mod 30 )

Giả sử p_1, p_2,…, p_n   là các số nguyen tố lớn hơn 5

Khi đó

   (mod 30)

Suy ra p = 30k + n là số nguyên tố nên (n, 30 ) = 1