Chứng minh rằng A=2+22+23+…+260 chia hết cho 7

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Phân tích sao cho tổng đó thành tích các thừa số trong đó có một thừa số chia hết cho 7.

Bước 2. Áp dụng tính chất chia hết của một tích.

Ta có:

$$\begin{gathered} \text{A}=2+2^2+2^3+\dots +2^{60} \\ =\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2{}^6\right)+\dots +\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right) \\ =2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+\dots +2^{58}.\left(1+2+2^2\right) \\ =2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+\dots +2^{58}.\left(1+2+2^2\right) \\ =\left(2+2^4+\dots +2^{58}\right).7 \\ \Rightarrow \text{A}⋮7 \end{gathered}$$