Chứng minh rằng J=10n+18n−1 chia hết cho 27

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Bước 1. Chứng  minh  $J={10}^n+18n-1$ chia hết cho 9.

Bước 2. Chứng minh $J={10}^n+18n-1$ chia hết cho 3.

Ta có:

$$\begin{gathered} J={10}^n+18n-1=\left({10}^n-1\right)+18n \\ \Rightarrow J=\mathrm{99...9}+18n \\ \Rightarrow J=9\left(\mathrm{11...1}+2n\right) \end{gathered}$$ 

=> J chia hết cho 9.

+) Chứng minh $\left(\mathrm{11...1}+2n\right)⋮3$.

Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3.

Số 11...1 gồm n chữ số 1. Khi đó, $1+1+\mathrm{...}+1=n$.

Suy ra 11...1 và n có cùng số dư trong phép chia cho 3.

=> 11...1-n chia hết cho 3.

=> (11...1+2n)$⋮3$

$\Rightarrow J⋮27$