Tìm điều kiện của n sao cho (n+20122013)(n+20132012) chia hết cho 2

Sơ đồ con đường

Lời giải chi tiết

Phân tích tích đã cho thành tổng, sau đó ta xét tính chia hết cho 2 từng số hạng trong tổng và áp dụng dấu hiệu chia hết của tổng để kết luận.

Ta có: $\begin{array}{l}(n+{2012}^{2013})+(n+{2013}^{2012})\\ =2n+{2012}^{2013}+{2013}^{2012}\end{array}$

Mà $\begin{array}{l}2n⋮2\\ 2012⋮2\Rightarrow {2012}^{2013}⋮2\\ 2013\cancel{⋮}2\Rightarrow {2013}^{2012}\cancel{⋮}2\end{array}$ 

nên $$\begin{gathered} C=A/B=\left\{341;342;343;343;346;347;348;349\right\} \\ 2n+{2012}^{2013}+{2013}^{2012}\cancel{⋮}2 \end{gathered}$$ 

hay $(n+{2012}^{2013})+(n+{2013}^{2012})$ là một số lẻ.

Suy ra, một trong hai số phải có một số chẵn.

Do vậy, $(n+{2012}^{2013}).(n+{2013}^{2012})$là một số chẵn.

Vậy với mọi $n\in \mathbb{N}$ thì $(n+{2012}^{2013})(n+{2013}^{2012})⋮2$.