Chứng minh rằng một số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước là một số

* Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên đó là M , phân tích M ra các thừa số nguyên tố, giả sử : $M=a^x{b}^y{c}^z...$ Số lượng các ước của M là (x+1)(y+1)(z+1)… tích này là 1 số lẻ nên các thừa số đều lẻ suy ra x, y, z,… đều chẵn: x = 2x’; y = 2y’; z = 2z’; … Lúc đó $M=a^{2x\text{'}}{b}^{2y\text{'}}{c}^{2z\text{'}}...={\left(ax\text{'}by\text{'}cz\text{'}\right)}^2$. Điều này chính tỏ M là một số chính phương.