Bài 55 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình 51:

Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh \(\widehat{ADB}+ \widehat{ADC}\) = 180⁰

Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh \(\widehat{ADB}+ \widehat{ADC}\) = 180⁰ bằng cách chứng minh 

\(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{ADI}\) = 90⁰  

Lời giải chi tiết

Nối BD và CD.

Từ hình vẽ ta có DK là đường trung trực của AC, DI là đường trung trực của AB

Suy ra:  BD = AD = CD (theo định lí 2)

Xét ΔADK và ΔCDK có:

    AD = CD

    DK chung

    AK = KC

Vậy ΔADK = ΔCDK (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}= \widehat{CDK}\)

hay DK là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}\) = \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ADC}\)

Tương tự ∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI}= \widehat{BDI}\)

\( \Rightarrow\) DI là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI}\) = \(\frac{1}{2}\) \(\widehat{ADB}\)

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC 

\( \Rightarrow\) DK ⊥ DI

hay \(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{ADI}\) = 90⁰

Do đó  \(\frac{1}{2}\)\(\widehat{ADC}\) + \(\frac{1}{2}\) \(\widehat{ADB}\) = 90⁰

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADC}\) + \(\widehat{ADB}\) =  180⁰

Vậy B, D, C thẳng hàng (đpcm).