Bài 21 trang 54 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hàm số bậc nhất \(y = mx + 3\) và \(y = (2m + 1)x - 5\). Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau;

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải

a) + Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là \(a \ne 0\).

+ Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\) song song khi và chỉ khi  \(a = a'\) và \(b \ne b'\)

b) + Điều kiện để hàm số đã cho là hàm bậc nhất là \(a \ne 0\).

+ Hai đường thẳng: \((d)\): \(y=ax+b\), \((a \ne 0)\)  và \((d')\): \(y=a'x+b'\)  \((a' \ne 0)\) cắt nhau khi và chỉ khi \( a \ne a'\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 

+ \(y = mx + 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = m \hfill \cr
b = 3 \hfill \cr} \right.\)

+ \(y = (2m + 1)x - 5 \Rightarrow \left\{ \matrix{
a' = 2m + 1 \hfill \cr
b' = - 5 \hfill \cr} \right.\)

+ Để Hai hàm số đã cho là hàm bậc nhất thì ta cần có các hệ số \(a\) và \(a'\) khác \(0\), tức là:

\(\left\{ \matrix{
m \ne 0 \hfill \cr
2m + 1 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 0 \hfill \cr
2m \ne - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 0 \hfill \cr
m \ne \dfrac{-1}{2} \hfill \cr} \right.\)

a) Để hai đường thẳng song song thì:

\(\left\{ \matrix{
{a} = {a'} \hfill \cr
{b} \ne {b'} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = 2m + 1 \hfill \cr
3 \ne - 5 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 2m = 1 \hfill \cr
3 \ne - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m = - 1 (tmđk)\hfill \cr
3 \ne - 5 (luôn\ đúng) \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(m=-1\) thì hai đường thẳng trên song song với nhau.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì:

\(a \ne a' \Leftrightarrow m\neq 2m+1\)

             \(\Leftrightarrow m-2m \neq 1\)

             \(\Leftrightarrow -m \ne 1\)

             \(\Leftrightarrow m \ne -1\)

Kết hợp với điều kiện trên, ta có \(m \ne -1,\ m \ne 0,\ m \ne \dfrac{-1}{2}\) thì hai đường thẳng trên cắt nhau.