Bài giảng bất phương trình bậc nhất hai ẩn chi tiết nhất

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những kiến thức quan trọng nhất chương trình Toán 10. Cùng tìm hiểu rõ về lý thuyết và các dạng bài tập bài 4 bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Mong bài viết này sẽ giúp các bạn học tập hiệu quả!

A. Lý thuyết bài 4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất với hai ẩn x, y được cho dưới dạng công thức sau đây:

+ \(ax+by> c\) 

+ \(ax+by< c\)

+ \(ax+by\geq c\)

+ \(ax+by\leq c\)

Trong đó a, b, c là các giả thiết đầu bài đã cho và điều kiện là \(a, b\neq 0\)

- Tồn tại một cặp số \((x_{0};y_{0})\) để cho bất đẳng thức được cho ở đề bài là đúng thì cặp số \((x_{0};y_{0})\) được gọi là nghiệm của bất phương trình. 

1. Mệnh đề

- Mặt phẳng tọa độ Oxy được chia thành hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(ax+by=c\). Tất cả các tọa độ điểm của một trong hai mặt phẳng đó không chứa đường thẳng \(ax+by=c\) được gọi là nghiệm của bất phương trình \(ax+by> c\). Và tất cả các tọa độ điểm của mặt phẳng còn lại  (không chứa đường thẳng \(ax+by=c\)) được gọi là nghiệm của bất phương trình \(ax+by< c\).

- Các bước để xác định miền nghiệm \(ax+by> c\)

+ Bước 1: Dựng một đường thẳng là tập hợp nghiệm của phương trình \(ax+by+ c=0\)

+ Bước 2: Lấy một điểm M\((x_{0};y_{0})\) bất kỳ không thuộc đường thẳng \(ax+by+ c=0\)

+ Bước 3: Từ tọa độ \(x_{0}\) và \(y_{0}\) đã cho, tiến hành thay vào phương trình bậc nhất hai ẩn và xét dấu xem nó mang giá trị âm hay dương

Ví dụ 1: Tìm miền nghiệm của bất phương trình \(2x-y\geq 0\)

Hướng dẫn giải: 

+ Bước 1: Dựng một đường thẳng (d) là tập hợp nghiệm của đường thẳng \(2x-y=0\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng (d) đó chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng nhỏ có bờ là đường thẳng (d).

+ Bước 2: Lấy một điểm M\((1;0)\)

+ Bước 3: Thay vào bất trình ta được \(2.1-0 =2\) (đúng). Vậy điểm M\((1;0)\) là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình cần tìm là một nửa mặt phẳng chứa điểm M và bờ (d)

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

 - Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là đi tìm tập hợp tất cả các nghiệm chung của một số bất phương trình hai ẩn nhất định. 

- Miền của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là điểm cắt của các miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn có trong hệ bất phương trình đó trên cùng một tọa độ nhất định

- Cách giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Trong một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có hai nghiệm trở lên. Ta xét miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ. Phần giao không bị gạch của các bất phương trình trên cùng một tọa độ chính là miền nghiệm của hệ cần tìm

B. Bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Dạng 1: Bài tập tìm miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a, \(-x+2+2(2-y)<2(1-x)\)

b, \(3(1-x)+4(y-2)<5(x-3)\)

c, \(\dfrac{x-2y}{2}>\dfrac{2x+y+1}{3}\)

d, \(\dfrac{x-y}{-2}

Bài 2: Tìm miền nghiệm của một số hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau đây:

a, \(\left\{\begin{matrix}x+y-2\geq 0\\ x-3y+3\leq 0 \end{matrix}\right.\)                                           b, \(\left\{\begin{matrix}x+y> 0\\ 2x-3y+6> 0\\ x-2y+1\geq 0 \end{matrix}\right.\)

c,\(\left\{\begin{matrix}x+y+2> 0\\ 2x-3y-6\leq 0\\ x-2y+3\leq 0 \end{matrix}\right.\)                                         d, \(\left\{\begin{matrix}x+y-2< 0\\ x-y+3\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Bài 3: Xác định giá trị lớn nhất của một số hàm số sau 

a, \(F=4x+3y\) được cho bởi điều kiện là \(\left\{\begin{matrix}x>0,y>0\\3x+y\leq 9 \\ 2x+y\leq 8 \end{matrix}\right.\)

b, \(F= 2x+3y\) được cho bởi điều kiện là \(\left\{\begin{matrix}x>0,y>0\\x+2y\leq 10\\ 2x+y\leq 8 \end{matrix}\right. \)

2. Dạng 2: Bài 4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn ứng dụng vào một số bài toán thực tế

Bài 1: Trong một đợt tri ân khách hàng của một công ty thương mại, họ đã dùng phương pháp là quảng cáo các sản phẩm trên các kênh thông tin đại chúng như phát thanh, truyền hình với mục đích thu hút sự chú ý của mọi người. Biết rằng, quảng cáo trong thời gian 1 phút trên đài phát thanh, phí trả sẽ là 800.000 đồng và với đài truyền hình, phí sẽ là 4.000.000 đồng. Trong khi đó, những quảng cáo trên đài phát thanh dài tối thiểu là 5 phút và những quảng cáo trên đài truyền hình dài tối đa là 4 phút (do số lượng nhiều). Dựa trên một số phân tích, hiệu quả của quảng cáo trên đài truyền hình sẽ gấp 6 lần so với trên đài phát thanh. Số tiền lớn nhất mà công ty dành cho dự án này là 16.000.000 đồng. Để tối đa hóa hiệu quả, công ty phải làm gì?

Hướng dẫn giải:

- Giả sử x là số phút mà công ty dự định đặt quảng cáo ở đài phát thanh và y là số phút mà công ty dự định đặt quảng cáo trên sóng truyền hình

Vậy tổng chi phí cho việc quảng cáo này là 800.000x + 4.000.000y (đồng)

- Theo giả định đề bài, tổng chi phí này không được vượt quá 16.000.000 đồng tức là:

\(800.000x + 4.000.000y \leq 16.000.000\) hay \(x+5y-20\leq 0\)

- Với điều kiện của đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra, đồng thời x, y là thời gian nên \(x\geq 5 \) và \(0\leq y\leq 4\)

- Hiệu quả chung của quảng cáo là \(x+6y\)

Từ những phân tích theo giả định của đề bài, bài toán trở thành như sau:

Xác định x, y để cho \(x+6y\) đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện sau đây \(\left\{\begin{matrix}x+5y-20< 0\\ x\geq 5\\ 0\leq y\leq 4 \end{matrix}\right.\)

+ Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bằng cách xác định từng miền nghiệm của bất phương trình có trong hệ

+ Bước 2: Giá trị lớn nhất của \(x+6y\) đạt được tại một trong các điểm (5; 3), (5; 0), (20; 0)

+ Bước 3: Có \(M(5;3)=23\), \(M(5;0)=5\), \(M(20;0)=20\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(x+6y\) bằng 23 tại tọa độ điểm (5; 3) có nghĩa là thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh là 5 phút và trên đài truyền hình là 3 phút sẽ cho hiệu quả tối đa.

Bài 2: Trong một phân xưởng sản xuống có hai sản phẩm khác nhau. Cần một số lượng 2kg nguyên liệu và 30 giờ làm việc để làm ra 1kg sản phẩm loại 1. Đối với sản phẩm loại 2 thì cần 4kg nguyên liệu và 15 giờ để hoàn thành. Mức lợi nhuận đưa ra cho 1kg sản phẩm loại 1 là 40.000 đồng và sản phẩm loại 2 là 30.000 đồng. Mức nguyên liệu và số giờ việc làm mà phân xưởng có là 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi phân xưởng nên làm như nào để tối đa hóa lợi nhuận?

Bài 3: 140 người và 9 tấn hàng hóa là số lượng mà một nhà máy cần thuê vận chuyển. Ở nơi cung ứng, chỉ có 10 xe Mitsubishi và 9 xe Ford. Số lượng người và hàng hóa có thể chở được trên 1 chiếc xe Mitsubishi là 20 người và 0,6 tấn hàng trong khi đối với 1 xe Ford là 10 người và 1,5 tấn hàng. Để thuê được 1 chiếc xe Mitsubishi phải mất 4 triệu đồng, còn đối với 1 xe Ford là 3 triệu đồng. Vậy nhà máy phải làm gì để số tiền bỏ ra cho việc thuê xe là nhỏ nhất?

Bài 4: Trong một phân xưởng sản xuất bao bì của một công ty bao gồm 3 loại hộp giấy: 1 loại đựng thuốc B1, 1 loại đựng cao Sao vàng và 1 loại đựng khẩu trang y tế. Phân xưởng này dùng các tấm bìa có kích thước giống nhau để sản xuất ra các hộp giấy này và có các cách cắt khác nhau. Cách cắt thứ nhất cắt được 3 hộp đựng thuốc B1, 1 hộp đựng cao Sao vàng và 6 hộp khẩu trang y tế. Cách cắt thứ hai cắt được 2 hộp đựng thuốc B1, 3 hộp đựng cao Sao vàng và 1 hộp đựng khẩu trang y tế. Theo dự định của công ty, cần phải cắt được tối thiểu 900 hộp đựng thuốc B1, 1000 hộp đựng cao Sao vàng và 900 hộp đựng khẩu trang y tế. Để thực hiện được kế hoạch trên, phân xưởng cần phải tính như nào để cho số bìa phải dùng là ít nhất?

Bài 5: Một công ty sản xuất bánh kẹp có dự định làm bánh đậu xanh và bánh dẻo để chuẩn bị cho sản phẩm của Tết Trung Thu. Để chuẩn bị cho kế hoạch này, nhà máy đã có một số lượng nguyên liệu như sau: 300kg đường, 200kg đậu xanh và một số phụ gia khác. Để có thể làm ra sản phẩm là một cái bánh đậu xanh thì nguyên liệu chính cần 0,06kg đường và 0,08kg đậu xanh. Lợi nhuận thu được trên một chiếc bánh đậu xanh là 2000 đồng. Để có thể làm ra sản phẩm là một chiếc bánh dẻo thì nguyên liệu chính cần 0,07kg đường và 0,04kg đậu. Lợi nhuận thu được trên một chiếc bánh dẻo là 1800 đồng. Giả sử các sản phẩm không bị tồn hàng, công ty phải tính toán như nào để tối đa hóa lợi nhuận?

Xem thêm >>> Giải bài tập sách giáo khoa Toán 10 bài 4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Với bài viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đã đem lại cho các bạn bài tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập đầy đủ. Nếu có đóng góp gì cho bài 4 bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé!