Bài 44 trang 132 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng khi gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò, 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45000đ, 1kg thịt lợn lầ 35000đ. Giả sử gia đình mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

a) Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.

b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x (kilogam) thịt bò và y (kilogam) thịt lợn. Hãy biểu diễn T theo x, y

c) Ở câu a) ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại \((x_0;y_0)\) với \((x_0;y_0)\) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilogam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn,

Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện: \(0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1\)

Khi đó, số đơn vị protein có được là: \(800x + 600y\) và số đơn vị lipit có được là \(200x + 400y\),

Vì gia đình đó cần ít nhất 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

\(800x  + 600 y ≥ 900\) và \(200x + 400 y ≥ 400\)

Hay gọn hơn ta có:

\(4x + 3y ≥ 4,5\) và \(x + 2y ≥ 2\)

Vậy các điều kiện mà x và y thỏa mãn là: 

\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 \le x \le 1,6 \hfill \cr
0 \le y \le 1,1 \hfill \cr
4x + 3y \ge 4,5 \hfill \cr
x + 2y \ge 2 \hfill \cr} \right.\)

Miền nghiệm của hệ trên miền tứ giác ABCD (kể cả biên) trên hình.

b) Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt kợn là:

\(T = 45x + 35y\) (nghìn đồng)

c) Ta cần tìm (x, y) sao cho T nhỏ nhất

Ta biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tại \(A(0,6; 0,7)\) ta có: \(T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\) (nghìn đồng)

Tại \(B(1,6; 0,2)\) ta có: \(T = 45.1,6 + 35.02 = 79\) (nghìn đồng)

Tại \(C(1,6; 1,1)\) ta có: \(T = 4,5.1,6 + 35.1,1 = 110,5\) (nghìn đồng)

Tại \(D(0,3; 1,1)\) ta có: \(T = 45.0,3 + 35.11 = 52\) (nghìn đồng)

Vậy khi \(x = 0,6\) và \(y = 0,7\) thì T đạt giá trị nhỏ nhất

Trả lời: gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7kg thịt lợn thì chi phí ít nhất.

Cụ thể, chi phí là 51,5 nghìn đồng.