Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 - 2m)x² + m² – 1 = 0

a) Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt

c) Có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Đặt y = x² ; y ≥ 0, ta được phương trình:

y² + (1 – 2m)y + m² – 1 = 0   (1)

a) Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)

Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S < 0 \hfill \cr} \right.\)

Thay Δ = 5 – 4m, P = m²– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 1\) 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

\(\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

Ta xét hai trường hợp:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m²  - 1 < 0 hay -1 < m < 1

Nếu Δ = 0 hoặc \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương \(x = {3 \over 4}\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

 \(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)

c) Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:

\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
P < 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m < {5 \over 4}\)