Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) \(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)

c) \(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\Delta :y = 1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:

\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy Q(3, 1)

b) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:

\(\eqalign{
& 3.\left( {x - 3} \right) - 4.\left( {y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \)  do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr
3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)

c) \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow n \left( {5; - 12} \right).\) 

Đường thẳng \(\Delta '\)  qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:

 \({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow  - 12x - 5y + 26 = 0\)

Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)